Question

12．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}-{a_n}=4n+1（{n∈{N^*}}）$，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{{4n（{n+1}）}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，设数列{b_n}的前n项和S_n，证明$\frac{4}{3}≤{S_n}＜2$．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，推出a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁．得到通项公式．
（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，即可证明结果．

解答 解：（1）由于${a_{n+1}}-{a_n}=4n+1（{n∈{N^*}}）$，∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+$（{{a_3}-{a_2}}）+（{{a_2}-{a_1}}）+{a_1}=4n-3+（{4n-7}）+…+5+1=\frac{{n（{4n-2}）}}{2}=2{n^2}-n$，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}=2{n^2}-n$．
（2）证明：由${a_n}=2{n^2}-n$，可得${b_n}=\frac{{4n（{n+1}）}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{4}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=2（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
则${S_n}=2（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=2（{1-\frac{1}{2n+1}}）$，
因为$0＜\frac{1}{2n+1}≤\frac{1}{3}$，
故$\frac{4}{3}≤{S_n}＜2$．

点评 本题考查数列的应用，递推关系式以及通项公式的求法，数列求和，考查分析问题解决问题的能力．