Question

13．已知数列2008，2009，1，-2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和S₂₀₁₇等于（　　）

• A． 0
• B． 2008
• C． 2017
• D． 4017

Answer 1

分析 由题意a_n+1=a_n+a_n+2，从而a_n+3=-a_n，进而得到该数列的周期为6，由此能求出结果．

解答 解：设该数列为{a_n}，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，
即a_n+1=a_n+a_n+2，
则a_n+2=a_n+1+a_n+3，
两式相加，得a_n+3+a_n=0，即a_n+3=-a_n，
∴a_n+6=-a_n+3=-（-a_n）=a_n，
∴该数列的周期为6，
∵a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=2008+2009+1-2008-2009-1=0，
∴S₂₀₁₇=336×（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁=0+2008=2008．
故选：B．

点评 本题考查数列的前期017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性质的合理运用．