Question

【题目】已知数列的首项为，设其前n项和为，且对有，．

（1）设，求证：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式;

（3）是否存在正整数m，k，使得，，成等差数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（2）存在，，或，

【解析】

（1）根据与的关系可得，由递推关系知为等差数列，即可求出通项公式（2）由（1）知，可得，根据累乘法即可求出（3）由裂项相消法求出，假设存在正整数m，k，使，，成等差数列，根据等差中项化简计算可得，存在正整数m，k使，，成等差数列.

（1）因为①，，

所以时，，得．

当时，②，

①-②得，

因为，所以．

当时，有．

所以数列为等差数列．

（2）因为，公差，得．

所以，得．

所以,

得，即．

（3）

．

因为，，成等差数列，所以，即，

化简得．

因为，所以时，，（舍去）；时，，；

时，，．

综上，存在，或，．