Question

15．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．求二面角P-BC-D余弦值的大小．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：∵棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面BCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设二面角P-BC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴二面角P-BC-D的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．