Question

2．在△ABC中，周长为36cm，且sinA：sinB：sinC=5：6：7，下列结论：
①a：b：c=5：6：7
②a：b：c=$\sqrt{5}$：$\sqrt{6}$：$\sqrt{7}$
③a=10cm，b=12cm，c=14cm
④A：B：C=5：6：7
其中成立的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得a：b：c=5：6：7，可得①成立；设a=5x，b=6x，c=7x，可得：5x+6x+7x=36，解得a，b，c可得②不成立，③成立；由余弦定理可求cosB=$\frac{19}{35}$，可得B≠$\frac{π}{3}$，若A：B：C=5：6：7，可得B=$\frac{π}{3}$，矛盾，可得④不成立．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=5：6：7，
∴由正弦定理可得：a：b：c=5：6：7，故①成立；
∵△ABC中，周长为36cm，设a=5x，b=6x，c=7x，可得：5x+6x+7x=36，
∴解得：a=10cm，b=12cm，c=14cm，故②不成立，③成立；
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{19}{35}$，
∴可得：B≠$\frac{π}{3}$，
∵若A：B：C=5：6：7，设A=5y，B=6y，C=7y，则5y+6y+7y=π，可得y=$\frac{π}{18}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，矛盾，故④不成立．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，比例的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．