Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，AB=A₁A=a，BA₁=AC，A₁C⊥AB．
（I）求证：AA₁⊥BC；
（II）把四棱锥A₁-BCC₁B₁绕直线BC旋转一个角到A′-BB′C′C，使平面ABC与BB′C′C重合，求该旋转角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）过A₁作A₁H⊥底面ABC，H为垂足，连接CH、BH、AH，推导出H为△ABC的垂心，由此能证明AA₁⊥BC．（II）由题知所求旋转过的角就是二面角B₁-BC-B′，推导出$∠{B}_{1}B{B}^{'}$为二面角${B}_{1}-BC-{B}^{'}$的平面角，$∠{B}_{1}B{B}^{'}$=∠A₁AH，由此能求出所求旋转过的角的余弦值．

解答 证明：（I）过A₁作A₁H⊥底面ABC，H为垂足，连接CH、BH、AH，
A₁B⊥AC，A₁H⊥AC，A₁B与A₁H相交，
∴AC⊥面A₁BH，…（2分）
又BH在面A₁BH内，∴BH⊥AC，…（3分）
同理CH⊥AB，∴H为△ABC的垂心…（4分）
∴AH⊥BC，又A₁H⊥BC，AH与A₁H相交，
∴BC⊥面A₁AH．又A₁A在面A₁AH内，
∴AA₁⊥BC．…（6分）
解：（II）由题知所求旋转过的角就是二面角B₁-BC-B′，…（7分）
∵AA₁∥BB₁，由（I）知BB₁⊥BC，从而BB′⊥BC，
∴$∠{B}_{1}B{B}^{'}$为二面角${B}_{1}-BC-{B}^{'}$的平面角…（8分）
又BB′∥AH（在底面内AH，BB′同时垂直于BC），
∴$∠{B}_{1}B{B}^{'}$=∠A₁AH（$∠{B}_{1}B{B}^{'}$和∠A₁AH的两边分别平行，且方向相同）．…（9分）
∵AB=AA₁=a，又H为△ABC的垂心，△ABC为正三角形，
∴H为△ABC的中心，在Rt△A₁AH中，
cos∠A₁AH=$\frac{AH}{A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{2}{3}×（\frac{\sqrt{3}}{2}a）}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos$∠{B}_{1}B{B}^{'}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（11分）
即所求旋转过的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．