Question

8．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{a{x}^{2}-4x+3}$．
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a=-1代入函数解析式，求出内函数g（x）=-x²-4x+3的单调区间，结合复合函数的单调性求得f（x）的单调区间；
（2）由指数函数的性质知，要使y=f（x）的值域是（0，+∞），应使h（x）=ax²-4x+3的值域为R，由此可得a的值．

解答 解：（1）当a=-1时，$f（x）=（\frac{1}{3}）^{-{x}^{2}-4x+3}$．
令g（x）=-x²-4x+3，由于g（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，+∞）上单调递减，
而y=$（\frac{1}{3}）^{t}$在R上单调递减，
∴f（x）的增区间为（-2，+∞），减区间为（-∞，-2）；
（2）由指数函数的性质知，要使y=f（x）的值域是（0，+∞），
应使h（x）=ax²-4x+3的值域为R，
若a≠0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，
∴a的值是0．

点评 本题考查复合函数单调性的求法，考查了复合函数的值域，是中档题．