Question

17．（1）（用综合法证明）
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，证明：△ABC为等边三角形．
（2）（用分析法证明）
设a，b，c为一个三角形的三边，s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），且s²=2ab，试证：s＜2a．

Answer 1

分析 （1）通过A、B、C成等差数列及三角形内角和定理可知$B=\frac{π}{3}$，利用b²=ac及余弦定理计算可知ac=a²+c²-ac，进而可知A=C，从而可得结论；
（2）通过s²=2ab可知要证s＜2a即证b＜s，利用s=$\frac{1}{2}$（a+b+c）即证b＜a+c，而a、b、c为一个三角形的三条边能保证这一点．

解答 证明：（1）因为A、B、C成等差数列，所以2B=A+C，
又因为A+B+C=π，所以$B=\frac{π}{3}$，
因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
所以ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，
所以a=c，所以A=C，
又$B=\frac{π}{3}$，所以$A=B=C=\frac{π}{3}$，
所以△ABC为等边三角形；
（2）要证s＜2a，由于s²=2ab，
所以只需证s＜$\frac{s2}{b}$，即证b＜s，
因为s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），所以只需证2b＜a+b+c，即证b＜a+c，
由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立．

点评 本题考查综合法与分析法来证明命题，注意解题方法的积累，属于中档题．