Question

1．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{|{x}^{2}-4|-2，x＞1}\end{array}\right.$则方程|f（x）-g（x）|=2的实根个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当0＜x≤1时，化简方程|f（x）-g（x）|=2为|lnx|=2，方程有1实根；当x＞1时，方程|f（x）-g（x）|=2为||lnx|-|x²-4|+2|=2，整理得|x²-4|=lnx或|x²-4|=lnx+4．
令${y}_{1}=|{x}^{2}-4|$，y₂=lnx，y₃=lnx+4．作出函数图象，数形结合得答案．

解答 解：当0＜x≤1时，方程|f（x）-g（x）|=2为|lnx|=2，解得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，方程有1实根；
当x＞1时，方程|f（x）-g（x）|=2为||lnx|-|x²-4|+2|=2，即|lnx-|x²-4|+2|=2，
∴||x²-4|-lnx-2|=2，去绝对值得：|x²-4|=lnx或|x²-4|=lnx+4．
令${y}_{1}=|{x}^{2}-4|$，y₂=lnx，y₃=lnx+4．
作出函数图象如图：

由图可知，方程|x²-4|=lnx有2实根，方程|x²-4|=lnx+4 有1实根．
综上，方程|f（x）-g（x）|=2的实根个数为4．
故选：D．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．