Question

19．某校举办“中国诗词大赛”活动，某班派出甲乙两名选手同时参加比赛．大赛设有15个诗词填空题，其中“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”各5个．每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答，3个全答对选手得3分，答对2个选手得2分，答对1个选手得1分，一个都没答对选手得0分．已知“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5，4，3，乙能答对的题目个数依此为4，5，4，假设每人各题答对与否互不影响，甲乙两人答对与否也互不影响．
求：
（Ⅰ）甲乙两人同时得到3分的概率；
（Ⅱ）甲乙两人得分之和ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式求出甲、乙两人同时得3分的概率；
（Ⅱ）根据甲、乙两人得分之和的可能取值，计算对应的概率，
写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）设事件A_i为甲得分为i分（i=1，2，3），
事件B_i为乙得分为i分（i=1，2，3），
则$P（{A_1}）=\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{2}{25}$，
$P（{A_2}）=\frac{4}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{11}{25}$，
$P（{A_3}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$，
$P（{B_1}）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，
$P（{B_2}）=\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{8}{25}$，
$P（{B_3}）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{16}{25}$；
又甲、乙两人同时得3分为事件A₃•B₃，
则$P（{A_3}•{B_3}）=\frac{12}{25}×\frac{16}{25}=\frac{192}{625}$； （5分）
（Ⅱ）甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为2，3，4，5，6；
则$P（ξ=2）=P（{A_1}•{B_1}）=\frac{2}{25}×\frac{1}{25}=\frac{2}{625}$，
$P（ξ=3）=P（{A_1}•{B_2}）+P（{A_2}•{B_1}）=\frac{2}{25}×\frac{8}{25}+\frac{11}{25}×\frac{1}{25}=\frac{27}{625}$，
$P（ξ=4）=P（{A_1}•{B_3}）+P（{A_2}•{B_2}）+P（{A_3}•{B_1}）=\frac{2}{25}×\frac{16}{25}+\frac{11}{25}×\frac{8}{25}+\frac{12}{25}×\frac{1}{25}=\frac{132}{625}$，
$P（ξ=5）=P（{A_2}•{B_3}）+P（{A_3}•{B_2}）=\frac{11}{25}×\frac{16}{25}+\frac{12}{25}×\frac{8}{25}=\frac{272}{625}$，
$P（ξ=6）=P（{A_3}•{B_3}）=\frac{12}{25}×\frac{16}{25}=\frac{192}{625}$；（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{2}{625}$	$\frac{27}{625}$	$\frac{132}{625}$	$\frac{272}{625}$	$\frac{192}{625}$

（11分）
所以ξ的数学期望为
$：Eξ=\frac{4}{625}+\frac{81}{625}+\frac{528}{625}+\frac{1260}{625}+\frac{1152}{625}=\frac{3125}{625}=5$．（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．