Question

18．定义$\frac{n}{{P}_{1}+{P}_{2}+…+{P}_{n}}$为n个正数P₁，P₂…P_n的“均倒数”，若已知正整数数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{1}{12}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 $\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，可得a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1），利用递推关系可得a_n=4n-1．可得b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n.$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1），
∴n≥2时，a_n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1．
n=1时，a₁=3，对于上式也成立．
∴a_n=4n-1．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{10}{b}_{11}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．