Question

16．已知向量$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），$\overrightarrow c$=（-1，0）
（1）求向量$\overrightarrow b+\overrightarrow c$的长度的最大值；
（2）设α=$\frac{π}{4}$，β∈（0，π），且$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$），求β的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算模长公式及向量的坐标表示，再由余弦函数的值域即可求得最大值；
（2）运用向量垂直的条件，结合向量的数量积的坐标表示，以及同角的平方关系，即可求得cosβ的值，根据β∈（0，π），即可求得β的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow b+\overrightarrow c$=（cosβ-1，sinβ），
∴丨$\overrightarrow b+\overrightarrow c$丨=$\sqrt{（cosβ-1）^{2}+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{co{s}^{2}β-2cosβ+1+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{2-2cosβ}$，
∴当cosβ=-1，丨$\overrightarrow b+\overrightarrow c$丨取最大值，最大值为2，
向量$\overrightarrow b+\overrightarrow c$的长度的最大值2；
（2）α=$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，
cosαcosβ-sinαsinβ-cosα=0，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosβ+sinβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
sinβ+cosβ=1，
∵sin²β+cos²β=1，
解得：cosβ=0或1，
∵β∈（0，π），
β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的垂直的条件和模长的求法，同时考查同角三角函数基本关系，属于中档题．