Question

9．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，
（1）若关于x的不等式f（x）＞|1-3a|恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若关于t的一元二次方程${t^2}-4\sqrt{2}t+f（m）=0$有实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义求出|2x+1|+|2x-3|的最小值，得到a的不等式求解即可．
（2）通过△≥0，得到|2m+1|+|2m-3|≤8，去掉绝对值求解即可．

解答 解：（1）因为f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
所以|1-3a|＜4，即$-1＜a＜\frac{5}{3}$，
所以实数a的取值范围为$（{-1，\frac{5}{3}}）$．…（5分）
（2）△=32-4（|2m+1|+|2m-3|）≥0，
即|2m+1|+|2m-3|≤8，
所以不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{3}{2}\\（2m+1）+（2m-3）≤8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}}\\{2m+1-2m+3≤8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜-\frac{1}{2}\\-（2m+1）-（2m-3）≤8.\end{array}\right.$
所以$\frac{3}{2}＜m≤\frac{5}{2}$，或$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}$，或$-\frac{3}{2}≤m＜-\frac{1}{2}$，
所以实数m的取值范围是$\left\{{m|-\frac{3}{2}≤m≤\frac{5}{2}}\right\}$．       …（10分）

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的几何意义，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．