Question

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E.

（1）求证：；

（2）求AD·AE的值．

Answer 1

（1）见解析；（2）90.

【解析】

试题分析：（1）由PA为圆O的切线，得到∠PAB＝∠ACP，又∠P＝∠P，即得证；

（2）根据PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，

计算相关线段长度、角度，证得△ACE∽△ADB，计算即得.

试题解析：（1）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，

又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴ 5分

（2）∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，

∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20， BC＝15，

由（1）知，＝，∠CAB＝90°，

∴AC2＋AB2＝BC2＝225， ∴AC＝6，AB＝3

连接CE，则∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，

∴△ACE∽△ADB， ∴

所以AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90 10分

考点：1.圆的切割线定理;2.相似三角形.