Question

(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝4Sn＋1成立.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝log3|an|，数列{}的前n项和为Tn, 求证：Tn＜．

Answer 1

（1）；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）由已知，计算a1＝4S1＋1a1＝－

又由得an＋1－an＝4an＋1

推出数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列.

（2）由bn＝log3|an|＝log3|(－)n|＝n

得到，利用“裂项相消法”计算得

(1＋――)“放大”即得证.

试题解析：（1）当n＝1时，a1＝4S1＋1a1＝－

又由得an＋1－an＝4an＋1

∴＝－ (n∈N*) 4分

即数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列，

∴an＝(－)n, (n∈N*) 6分

（2）∵bn＝log3|an|＝log3|(－)n|＝n

∴ 8分

∴Tn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋ ＋(－)]

＝(1＋――)＜·＝ 12分

考点：1.等比数列；2.数列的求和、“裂项相消法”.