Question

14．求下列函数的值域；
（1）f（x）=x-$\sqrt{1-2x}$；     
（2）f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{x-{x^2}}}}$．

Answer 1

分析 根据函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）由1-2x≥0得x≤$\frac{1}{2}$，即函数的定义域为（-∞，$\frac{1}{2}$]，
∵f（x）=x-$\sqrt{1-2x}$在定义域上为增函数，
∴f（x）≤f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为（-∞，$\frac{1}{2}$]．
（2）由x-x²＞0得x²-x＜0，得0＜x＜1，即函数的定义域为（0，1），
则x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈（0，$\frac{1}{4}$]，
则$\sqrt{x-{x}^{2}}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，则$\frac{1}{{\sqrt{x-{x^2}}}}$≥2，
即函数的值域为[2，+∞）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，根据函数单调性的性质结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．