Question

6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁C₁上一动点，则当点P在线段A₁C₁上运动时，在①四棱锥P-ABCD的体积②异面直线AP与BD所成的角；③四棱锥P-ABCD外接球的半径；④四棱锥P-ABCD的表面积；其中保持恒定不变的有①②．

Answer 1

分析 由A₁C₁∥平面ABCD，得当点P在线段A₁C₁上运动时，P到平面ABCD的距离h不变，从而得到四棱锥P-ABCD的体积不变；由BD⊥平面ACC₁A₁，得异面直线AP与BD所成的角为$\frac{π}{2}$；当P点发生变化时，四棱锥P-ABCD外接球的半径和四棱锥P-ABCD的表面积都随之变化．

解答 解：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁C₁上一动点，
A₁C₁∥平面ABCD，
∴当点P在线段A₁C₁上运动时，P到平面ABCD的距离h不变，
又正方形ABCD的面积不变，∴四棱锥P-ABCD的体积不变，故①保持恒定不变；
∵BD⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵AP?平面ACC₁A₁，∴异面直线AP与BD所成的角为$\frac{π}{2}$，故②保持恒定不变；
当P与A₁或C₁重合时，四棱锥P-ABCD外接球的半径等于BD₁的一半，
当P不与A₁或C₁重合时，四棱锥P-ABCD外接球的半径小于BD₁的一半，故③不可能保持恒定不变；
当P点发生变化时，四棱锥P-ABCD的表面积也随之变化，故④不可能保持恒定不变．
故答案为：①②．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．