Question

16．如图，点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，过点F的直线的斜率为3，与双曲线交于P，Q两点，分别过P、Q向右准线作垂线，垂足分别为M，N，且$\overrightarrow{PM}$=3$\overrightarrow{QN}$，求双曲线的离心率的大小．

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{PM}$|=3|$\overrightarrow{QN}$|=3m．由双曲线定义得，|PF|=3me．|QF|=me．过Q做QA垂直于PM，垂足Q，根据直线的斜率可知|AQ|=6m，进而利用勾股定理求得e．

解答 解：设|$\overrightarrow{PM}$|=3|$\overrightarrow{QN}$|=3m．由双曲线定义得，|PF|=3me．|QF|=me．过Q做QA垂直于PM，垂足Q．
∵过点F的直线的斜率为3，|AP|=2m．
∴|AQ|=6m，
∴（2m）²+（6m）²=（4me）²，
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．