Question

2．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=AC，AC₁⊥A₁B，M，N分别是A₁B₁，AB的中点，给出下列结论：①C₁M⊥平面A₁ABB₁，②A₁B⊥NB₁，③平面AMC₁∥平面CNB₁，其中正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在①中，由已知推导出C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，从而得到C₁M⊥平面A₁ABB₁；在②中，由已知推导出A₁B⊥平面AC₁M，从而A₁B⊥AM，由AN$\underset{∥}{=}$B₁M，得AM∥B₁N，进而得到A₁B⊥NB₁；在③中，由AM∥B₁N，C₁M∥CN，得到平面AMC₁∥平面CNB₁．

解答 解：在①中：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁，
∴C₁M⊥AA₁，
∵B₁C₁=A₁C₁，M是A₁B₁的中点，
∴C₁M⊥A₁B₁，AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁M⊥平面A₁ABB₁，故①正确；
在②中：∵C₁M⊥平面A₁ABB₁，∴CN⊥平面A₁ABB₁，A₁B?平面A₁ABB₁，
∴A₁B⊥CN，A₁B⊥C₁M，
∵AC₁⊥A₁B，AC₁∩C₁M=C₁，∴A₁B⊥平面AC₁M，AM?面AC₁M，
∴A₁B⊥AM，
∵AN$\underset{∥}{=}$B₁M，∴AM∥B₁N，
∴A₁B⊥NB₁，故②正确；
在③中：∵AM∥B₁N，C₁M∥CN，AM∩C₁M=M，B₁N∩CN=N，
∴平面AMC₁∥平面CNB₁，故③正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．