Question

9．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点为F，若双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由于OF为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点A的一个坐标，代入双曲线标准方程即可得双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，
设F为右焦点，OF=c，A在第一象限，
∴点A的坐标为（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
代入双曲线方程得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
即为$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4（{c}^{2}-{a}^{2}）}$=1，
即$\frac{1}{4}$e²-$\frac{3{e}^{2}}{4{e}^{2}-4}$=1，
解得e=1+$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的离心率的定义及其求法，属中档题．