Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

．
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零？

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，利用g（x）=f（x）-kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．
（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，得到b=0，然后判断F（m）+F（n）的取值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1=x²+2x+1．
∴F（x）=

x2+2x+1，  x＞0 -x2-2x-1， x＜0

．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函数的对称轴为x=-

2-k

2

=

k-2

2

，
要使函数g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是单调函数，
则区间[-2，2]必在对称轴的一侧，
即

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤-2．
（3）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，
∴2bx=0，解得b=0．
∴f（x）=ax²+1．
∴F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

．
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨设m＞n，则m＞0，n＜0，
∴F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）=a（m-n）（m+n），
∵m+n＞0，a＞0，m-n＞0，
∴F（m）+F（n）=a（m-n）（m+n）＞0．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．要求熟练掌握二次函数的相关知识．