Question

20．已知等差数列{a_n}的公差d为整数，且a_k=k²+2，a_2k=（k+2）²，其中k为常数且k∈N^*
（1）求k及a_n
（2）设a₁＞1，{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为T_n，若存在正整数m，使得$\frac{{S}_{2}}{{S}_{m}}={T}_{3}$，求q．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列{a_n}的公差d为整数，且a_k=k²+2，a_2k=（k+2）²，其中k为常数且k∈N^*，
可得a₁+（k-1）d=k²+2，a₁+（2k-1）d=（k+2）²，解得d=4+$\frac{2}{k}$，即可得出．
（2）由于a₁＞1，可得a_n=6n-3，S_n=3n²．而$\frac{{S}_{2}}{{S}_{m}}={T}_{3}$，可得T₃=$\frac{4}{{m}^{2}}$=1+q+q²．整理为：q²+q+1-$\frac{4}{{m}^{2}}$=0，利用△≥0，解得m，即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差d为整数，且a_k=k²+2，a_2k=（k+2）²，其中k为常数且k∈N^*，
∴a₁+（k-1）d=k²+2，a₁+（2k-1）d=（k+2）²，解得d=4+$\frac{2}{k}$，∵k=1或2，
∴当k=1时，d=6，a₁=3，a_n=3+6（n-1）=6n-3；
当k=2时，d=5，a₁=1，a_n=1+5（n-1）=5n-4．
（2）∵a₁＞1，∴a_n=6n-3，∴S_n=$\frac{n（3+6n-3）}{2}$=3n²．
∵$\frac{{S}_{2}}{{S}_{m}}={T}_{3}$，∴T₃=$\frac{12}{3{m}^{2}}$=$\frac{4}{{m}^{2}}$=1+q+q²．
整理为：q²+q+1-$\frac{4}{{m}^{2}}$=0，∵△=1-4$（1-\frac{4}{{m}^{2}}）$≥0，解得m²≤$\frac{16}{3}$，∵m∈N^*，∴m=1或2．
当m=1时，q²+q-3=0，q＞0，解得q=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
当m=2时，q²+q=0，q＞0，舍去．
综上可得：q=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．