Question

8．已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）＞3f（x），则不等式8f（x）＞f（2）x³的解集为（　　）

• A． {x|x＞3}
• B． {x|x＞0}
• C． {x|x＞2}
• D． {x|0＜x＞2}

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，不等式8f（x）＞f（2）x³可化为：8x³g（x）＞8g（2）•x³，即g（x）＞g（2），从而求出x的范围即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）{•x}^{3}-{3x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵xf′（x）＞3f（x），即xf′（x）-3f（x）＞0，
∴g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故g（x）在（0，+∞）递增，
则f（x）=g（x）x³，
不等式8f（x）＞f（2）x³可化为：8x³g（x）＞8g（2）•x³，
即g（x）＞g（2），解得：x＞2，
∴不等式的解集是{x|x＞2}．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．