Question

14．定义在R上的函数f（x）的导函数是f′（x），若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，设a=f（$\frac{1}{e}$）（e为自然对数的底数）、b=f（$\sqrt{2}$）、c=f（log₂8），则（　　）

• A． c＜a＜b
• B． a＞b＞c
• C． a＜b＜c
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 先由x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，1）上为增函数；又f（x）=f（2-x）得f（x）图象关于x=1对称，则 f（x）在（1，+∞）上为减函数，然后将f（$\frac{1}{e}$），f（$\sqrt{2}$），f（log₂8）化到同一单调区间内比较即可．

解答 解：∵x∈（-∞，1）时，
∴（x-1）f′（x）＜0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）上为增函数，
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）图象关于x=1对称，
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，
又∵a=f（$\frac{1}{e}$）=f（2-$\frac{1}{e}$），b=f（$\sqrt{2}$），c=f（log₂8）=f（3），
∴3＞2-$\frac{1}{e}$＞$\sqrt{2}$，
∴c＜a＜b．
故选：A．

点评 解题的关键为由f（x）=f（2-x）得函数图象关于x=1对称，以及利用导数符号确定函数的单调性，属于常用解题技巧．