Question

17．已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．
（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是2；
（2）曲线C与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四个不同的交点，则实数m的取值范围是2＜m＜3或$m=\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C围成的图形的面积是2；
（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论．

解答 解：（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；
（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四个不同的交点；
x＞0，y＞0，x+y-m=0与椭圆方程联立，可得13x²-18mx+9m²-36=0，
∴△=（-18m）²-52（9m²-36）=0，
∵m＞0，∴m=$\sqrt{13}$．此时曲线C与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有四个不同的交点
故答案为：2，2＜m＜3或$m=\sqrt{13}$．

点评 本题考查曲线与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．