Question

2．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），cosβ=-$\frac{3}{5}$，sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 由已知可求范围α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），sinβ的值，利用角的关系α=（α+β）-β，根据两角差的正弦函数公式即可化简求值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），…1分
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{12}{13}$，…3分
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，…5分
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{5}{13}×（-\frac{3}{5}）$-（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{33}{65}$…8分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．