Question

点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

 (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．

由已知得

消去y得，2x²＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6，

由于y>0，只能x＝，于是y＝，

所以点P的坐标是(，)．

(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.

设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是

，于是＝|m－6|，

又－6≤m≤6，解得m＝2.

∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，

∴d²＝(x－2)²＋y²＝x²－4x＋4＋20－x²

＝(x－)²＋15，

由于－6≤x≤6，所以当x＝时d取最小值.