Question

5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c²=（a-b）²+4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化边为角，求出sinC=$\frac{1}{2}$，结合三角形为锐角三角形求得C值；
（2）把已知等式展开，结合余弦定理求出ab的值，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
得b=2Rsinb，c=2Rsinc，代入b=2csinB，
得sinB=2sinC•sinB，
∵sinB≠0，∴sinC=$\frac{1}{2}$，
又△ABC为锐角三角形，∴C=$\frac{π}{6}$；
（2）由c²=（a-b）²+4，得c²=a²+b²-2ab+4，
即c²-a²-b²=-2ab+4，
由余弦定理可得，c²-a²-b²=-2ab•cosC，
∴$-2ab•cos\frac{π}{6}=-2ab+4$，即$-\sqrt{3}ab=-2ab+4$，
即$ab=\frac{4}{2-\sqrt{3}}=4（2+\sqrt{3}）$，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab•sinC=\frac{1}{2}×4（2+\sqrt{3}）×\frac{1}{2}=2+\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属中档题．