Question

在极坐标系中，过点P（18，

π

2

）引圆ρ=10sinθ的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则线段AB的长为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，根据圆的切线性质求得cos

∠AOB

2

 的值，可得cos∠ACB 的值，再利用余弦定理求得AB的值．

解答： 解：点P（18，

π

2

）的直角坐标为（0，18），
圆ρ=10sinθ即 ρ²=10ρsinθ，化为直角坐标方程为 x²+（y-5）²=25，
表示以C（0，5）为圆心、半径等于5的圆．
由于cos

∠AOB

2

=

CA

CP

=

5

13

∴cos∠ACB=2cos2

∠ACB

2

-1=2×(

5

13

)2-1=-

119

169

，
△ACB中，由余弦定理可得 AB²=CA²+CB²-2CA•CB•cos∠ACB=25+25-2×5×5×（-

119

169

）=

1202

132

，
∴AB=

120

13

，
故答案为：

120

13

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的切线性质、二倍角的余弦公式、余弦定理的应用，属于基础题．