Question

7．已知函数f（x）=$\frac{m-{2}^{x}}{n+{2}^{x+1}}$是R上的奇函数
（1）求m，n的值；
（2）证明：对于任意的x恒有f（x）＜c²-3c+3；
（3）若f（a）+f（a-1）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），求m，n的值；
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$，即可证明：对于任意的x恒有f（x）＜c²-3c+3；
（3）若f（a）+f（a-1）＞0，利用f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）是减函数，R上的奇函数，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{m-{2}^{x}}{n+{2}^{x+1}}$是R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴$\frac{m-1}{n+2}$=0，
∴m=1，
∵f（-1）=-f（1），
∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{n+1}$=-$\frac{1-2}{n+4}$，∴n=2；
（2）证明：∵f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$，
∴对于任意的x恒有f（x）＜c²-3c+3；
（3）解：f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）是减函数．
∵f（a）+f（a-1）＞0，函数是R上的奇函数
∴f（a）＞f（1-a），
∴a＜1-a，
∴a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．