Question

17．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+$\root{2}{x}$），则当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1+$\sqrt{-x}$）．

Answer 1

分析 由f（x）是R上的奇函数，可得f（x）=-f（-x），根据已知中当x∈（0，+∞）时，f（x）=xx（1+$\root{2}{x}$），结合当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），代入可得答案．

解答 解：当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞）
∴f（-x）=-x（1+$\sqrt{-x}$），
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x（1+$\sqrt{-x}$），
故答案为：x（1+$\sqrt{-x}$）．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中由x∈（-∞，0）得到-x∈（0，+∞），将未知区间转化为已知区间是解答的关键．