Question

12．设α是第一象限角，β是第二象限角，且sinα，cosβ是二次方程25x²-16=0的两个根
（1）求sin2α的值．
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理、同角三角函数的基本关系求得α、β的正弦和余弦值，再利用二倍角的正弦公式、两角和的余弦公式求得sin2α和cos（α+β）的值．

解答 解：（1）根据α是第一象限角，β是第二象限角，且sinα，cosβ是二次方程25x²-16=0的两个根，
可得sinα+cosβ=0，sinα•cosβ=-$\frac{16}{25}$，且sinα＞0，cosβ＜0，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{4}{5}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
（2）根据（1）可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）$-$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．