Question

(本小题满分13分)
已知f(x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1).
设f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)…(n∈N^?)是首项为m²，公比为m的等比数列.
(1)求证：数列{a_n}是等差数列；
(2)若b_n＝a_n·f(a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；
(3)若c_n＝f(a_n)lgf(a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，
求出m的范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)由题意f(a_n)＝m²·m^n＋1，即ma_n，＝m^n＋1.
∴a_n＝n＋1，(2分)      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列.(4分)
(2)由题意b_n＝a_nf(a_n)＝(n＋1)·m^n＋1，
当m＝2时，b_n＝(n＋1)·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋(n＋1)·2^n＋1　①(6分)
①式两端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋(n＋1)·2^n＋2　②
②－①并整理，得

略