Question

如图所示的三棱锥A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2

3

，∠BAC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：确定AD⊥平面ABC，在平面ABC内，取点P，连PA，则∠DPA是DP与平面ABC所成角，可得点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点P在△ABC内所成的轨迹的长度．

解答： 解：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB，又AD⊥BC，且AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．在平面ABC内，取点P，连PA，则∠DPA是DP与平面ABC所成角．
又因为AD=4，所以直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，须AP=2，即点P在△ABC内所成的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆的一部分．
而∠BAC=120°=

2π

3

，故点P在△ABC内所成的轨迹的长度为

2π

3

×2=

4π

3

．
故答案为：

4π

3

．

点评：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算，圆的定义，扇形弧长公式．