Question

15．在等差数列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$+n，求数列{b_n}的前10项和．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求；
（2）求得b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$+n=2ⁿ+n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=4，a₄+a₇=15．
得a₁+d=4，（a₁+3d）+（a₁+6d）=15，
解得a₁=3，d=1，
所以a_n=a₁+（n-1）d=3+n-1=n+2；
（2）由（1）可得b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$+n=2ⁿ+n，
所以b₁+b₂+b₃+…+b₁₀=（2+1）+（2²+2）+（2³+3）+…+（2¹⁰+10）
=（2+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+…+10）
=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{（1+10）×10}{2}$=（2¹¹-2）+55=2¹¹+53=2101．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及运算能力，属于中档题．