Question

3．抛物线y=2x²上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，且x₁•x₂=-$\frac{3}{4}$，则实数m的值为2．

Answer 1

分析 先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x₂，x₁的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．

解答 解：由题意，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1，y₂-y₁=2（x₂²-x₁²），
∴x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，
$（\frac{{{x_2}+{x_1}}}{2}，\frac{{{y_2}+{y_1}}}{2}）$在直线y=x+m上，即$\frac{{{y_2}+{y_1}}}{2}=\frac{{{x_2}+{x_1}}}{2}+m，{y_2}+{y_1}={x_2}+{x_1}+2m$，
所以有2（x₂²+x₁²）=x₂+x₁+2m，即2[（x₂+x₁）²-2x₂x₁]=x₂+x₁+2m，
∴2m=4，∴m=2，
故答案为2．

点评 本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查．当两点关于已知直线对称时，有两条结论，一是两点的中点在已知直线上；二是两点的连线与已知直线垂直．