Question

18．已知函数f（x）=ax²+bx+4ln x的极值点为1和2．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在定义域上的极大值、极小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（x）的极值点，求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：f′（x）=2ax+b+$\frac{4}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+bx+4}{x}$，x∈（0，+∞），
（1）∵y=f（x）的极值点为1和2，
∴2ax²+bx+4=0的两根为1和2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{b}{2a}}\\{1×2=\frac{4}{2a}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-6．
（2）由（1）得：f（x）=x²-6x+4lnx，
函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（1）=-5，f（x）_极小值=f（2）=-8+4ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．