Question

9．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在区间[$\frac{π}{3}$，π]上单调递减．
（1）证明：b+c=2a；
（2）若f（$\frac{π}{9}$）=cos A，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由正弦定理可得b+c=2a；
（2）根据题意和正弦函数的单调性求出周期，由周期公式求出ω的值，化简f（$\frac{π}{9}$）=cos A，求出cos A的值，利用条件和余弦定理列出方程，化简后联立方程求出a、b、c的关系，可判断出△ABC的形状．

解答 证明：（1）∵$\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
化简得sin（B+A）+sin（C+A）=2sinA，
由A+B+C=π，则sinC+sinB=2sinA，
由正弦定理得，b+c=2a；
解：（2）∵f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，$\frac{π}{3}$]上递增，在[$\frac{π}{3}$，π]上递减，
∴$\frac{1}{4}T=\frac{π}{3}$，则T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，解得ω=$\frac{3}{2}$，
则f（x）=sin$\frac{3}{2}x$，
∴f（$\frac{π}{9}$）=sin（$\frac{3}{2}×\frac{π}{9}$）=sin$\frac{π}{6}$=cos A，则cos A=$\frac{1}{2}$，
又b+c=2a，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=（b+c）²-3bc，则a²=bc，
联立b+c=2a得，b=c=a，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，正弦函数的单调性，三角函数的周期公式，以及两角和的正弦公式、诱导公式等，考查转化思想，化简、变形能力．