Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A₁BC平行的直线l，并说明理由；
（2）证明：直线l⊥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析 （1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）在△ABC中，由AB=AC，D是线段AC的中点，可得AD⊥BC，l⊥AD．又AA₁⊥底面ABC，可得AA₁⊥l．即可证明．

解答 （1）解：在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．
理由如下：由于直线l不在平面A₁BC内，l∥BC，BC?平面A₁BC，
故直线l与平面A₁BC平行．
（2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，D是线段AC的中点，
∴AD⊥BC，又l∥BC，∴l⊥AD．
又∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥l．
而AA₁∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD₁A₁．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定定理及其性质定理、等腰三角形的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．