Question

19．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]
①估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率P；
②假设该校每个学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率都为P，试求从中任选三人至少有一人每周平均体育运动时间超过4小时的概率
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

附：K²=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

	男生	女生	总计
每周平均体育运动时间不超过4小时	45	30	75
每周平均体育运动时间超过4小时	165	60	225
总计	210	90	300

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样原理计算应收集的女生数；
（2）①由频率分布直方图计算对应的频率值即可；
②根据n次对立重复实验的概率模型计算概率值；
（3）计算对应的数值，填写列联表，计算观测值K²，即可得出结论．

解答 解：（1）300×$\frac{4500}{15000}$=90，所以应收集90位女生的样本数据；
（2）①由频率分布直方图得1-2×（0.100+0.025）=0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75；
②假设该校每个学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率都为0.75，
从中任选三人至少有一人每周平均体育运动时间超过4小时的概率为
P=1-0.75⁴=$\frac{175}{256}$；
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，
75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，
所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表

	男生	女生	总计
每周平均体育运动时间 不超过4小时	45	30	75
每周平均体育运动时间 超过4小时	165	60	225
总计	210	90	300

结合列联表可算得K²=$\frac{300{×（45×60-165×30）}^{2}}{210×90×75×225}$=$\frac{100}{21}$≈4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

点评 本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用问题，是综合性题目．