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椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(  )
A.(
1
3
2
3
)
B.(
1
2
,1)
C.(
2
3
,1)
D.(
1
3
1
2
)∪(
1
2
,1)
①当点P与短轴的顶点重合时,
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∵F1F2=F1P,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
此时a-c<2c,解得a<3c,所以离心率e
1
3

当e=
1
2
时,△F1F2P是等边三角形,与①中的三角形重复,故e≠
1
2

同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e
1
3
且e≠
1
2
时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形
综上所述,离心率的取值范围是:e∈(
1
3
1
2
)∪(
1
2
,1)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(理)已知F1,F2是椭圆
x2
100
+
y2
64
=1
的焦点,P为椭圆上一点,且F1PF2=
π
3
,求△F1PF2的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点,若该椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|,且以原点O为圆心,以b为半径的圆与直线PF1有公共点,则该椭圆离心率e的取值范围是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F到过顶点A(-a,0)、B(0,b)的直线的距离等于
7
7
b
,则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.
4
5
C.
7-
7
6
D.
7
7

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图所示,设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的面积为abπ,过坐标原点的直线l、x轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s、t,则s关于t的函数图象大致形状为图中的(  )
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知抛物线y2=4x的焦点F与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为(  )
A.
3
-
2
B.
2
-1
C.
1
2
D.
2
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆有一个焦点固定,并通过两个已知点,且该焦点到这两个定点不等距.则该椭圆另一个焦点的轨迹类型是(  )
A.椭圆型B.双曲线型
C.抛物线型D.非圆锥曲线型

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如果椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
的弦被点(4,-2)平分,则这条弦所在的直线方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(  )
A.B.2C.4D.8

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