Question

已知抛物线y²=4x，圆F：（x-1）²+y²=1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则|AB|•|CD|的值正确的是（　　）

• A、等于1
• B、最小值是1
• C、等于4
• D、最大值是4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=x_A，同理可得：|CD|=x_D，要分l⊥x轴和l不垂直x轴两种情况分别求值，当l⊥x轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得．

解答： 解：∵y²=4x，焦点F（1，0），准线 l₀：x=-1．
由定义得：|AF|=x_A+1，
又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x_A，
同理：|CD|=x_D，
当l⊥x轴时，则x_D=x_A=1，∴|AB|•|CD|=1          
当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_Ax_D=1，∴|AB|•|CD|=1
综上所述，|AB|•|CD|=1，
故选：A．

点评：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题．