Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F₁，F₂在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF₁的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．

Answer 1

　(1)设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)．

由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b²＝2.

根据题意得，∠AF₁O＝，sin∠AF₁O＝，

即a＝2b，a²＝8，

所以椭圆的标准方程是＋＝1.

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(x，y)，

由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝k(x－2)．

直线l的方程与椭圆方程联立消去y得：

(k²＋4)x²－4k²x＋4k²－8＝0.

由Δ＝16k²－4(k²＋4)(4k²－8)>0，得－2<k<2.

根据根与系数的关系得x₁＋x₂＝

又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，

即(2－x₁)(x₂－x)＝(x－x₁)(2－x₂)．

解得x＝1，代入直线l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)．

所以动点N的轨迹方程为x＝1，y∈(－2,2)．