Question

15．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-5≤0\\ x-2y+1≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，若不等式y²-2xy≤ax²恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 3
• C． -1
• D． -6

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用不等式恒成立转化为最值问题，利用斜率的几何意义以及一元二次函数的性质进行转化求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象知，x≥1，
则不等式y²-2xy≤ax²恒成立，等价为a≥（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$），
设k=$\frac{y}{x}$，则（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$）=k²-2k=（k-1）²-1，
k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-5=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（3，2），
则OA的斜率k=4，OC的斜率k=$\frac{2}{3}$，
则$\frac{2}{3}$≤k≤4，
则当k=4时，（k-1）²-1=9-1=8，
则（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$）的最大值为8，
则a≥8，
即a的最小值为8，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及不等式恒成立，利用参数分离法转化求求函数的最值是解决本题的关键．