Question

14．设a＞1，函数f（x）=（$\frac{1}{{{a^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$）x，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：对于x≠0，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先求出f（x）的定义域，判断可得其定义域关于原点对称，进而将f（x）变形为f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函数的定义可得答案．
（2）先证明当x＞0时，f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x＞0，根据函数是偶函数，问题得证．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）对于函数f（x）=（$\frac{1}{{{a^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$）x，
必有a^x-1≠0，解可得x≠0，
则函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
由于：f（x）=（$\frac{1}{{{a^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$）x=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x，
又由于：f（-x）=-$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$×（-x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x=f（x），
所以f（x）为偶函数，…（5分）
（2）由于a＞1，f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x；
所以：当x＞0时，f（x）=$\frac{（{a}^{x}+1）}{2（{a}^{x}-1）}$x＞0；         
由于，f（x）为偶函数，…（8分）
故当x＜0时，f（x）＞0，…（9分）
因此，对于任意x≠0，都有f（x）＞0．…（10分）

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性应该先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数不具有奇偶性，若对称，再检验f（-x）与f（x）的关系，属于中档题．