Question

16．给出以下命题：①y=2x²的焦点坐标是（$\frac{1}{2}$，0）；
②命题“若a＜b，则am²＜bm²”的否命题是假命题；
③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号为5，16，38，49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27；
④“x≥1”是“?a∈[-3，3]，不等式x²+ax+3≥a恒成立”的充分条件．
上述命题正确的是③④．

Answer 1

分析 ①把抛物线y=2x²化为标准方程，求出焦点坐标即可判断正误；
②写出该命题的否命题并判断其真假；
③根据系统抽样法的特征是间隔相等，求出这组样本数据的另一数值；
④x≥1时，利用分离常数法把不等式x²+ax+3≥a化为a≥-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2，
再利用基本不等式求出t=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2的最大值，从而判断充分性成立，是充分条件．

解答 解：对于①，抛物线y=2x²的标准方程是x²=$\frac{1}{2}$y，
∴P=$\frac{1}{4}$，焦点坐标是（0，$\frac{1}{8}$），①错误；
对于②，命题“若a＜b，则am²＜bm²”的否命题是
“若a≥b，则am²≥bm²”，它是真命题，∴②错误；
对于③，根据采用系统抽样法的特征是间隔相等，知若样本中的学号为5，16，38，49，
则被选出的另一个同学的学号为16+（16-5）=27，∴③正确；
对于④，当x≥1时，不等式x²+ax+3≥a可化为
a（x-1）≥-3-x²，
∴a≥$\frac{-3{-x}^{2}}{x-1}$
=$\frac{{-（x-1）}^{2}-2（x-1）-4}{x-1}$
=-（x-1）-$\frac{4}{x-1}$-2
=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2，
当x≥1时，t=-[（x-1）+$\frac{4}{x-1}$]-2的最大值是-2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$-2=-6，
当且仅当x=3时取“=”，
∴“?a∈[-3，3]，不等式x²+ax+3≥a恒成立”，即充分性成立，是充分条件，④正确．
综上，以上命题正确的是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了抛物线的定义与标准方程的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，考查了四种命题之间的关系以及充分条件的判断问题，是综合性题目．