Question

12．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₃），则{a_n}的前28项之和S₂₈=（　　）

• A． 7
• B． 14
• C． 28
• D． 56

Answer 1

分析 函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．可得：函数f（x）关于直线x=1对称，数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₃），可得a₆+a₂₃=2．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．
∴函数f（x）关于直线x=1对称，
∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₃），
∴a₆+a₂₃=2．
则{a_n}的前28项之和S₂₈=$\frac{28（{a}_{1}+{a}_{28}）}{2}$=14（a₆+a₂₃）=28．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．