Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为

1

2

，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值．
（Ⅲ）当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由题意可设椭圆的坐标方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由题意可得

c

a

=

1

2

，2a=4，及b²=a²-c²=3．即可得出．
（II）当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）．直线OP的方程y=kx与椭圆的方程联立可得x2=

12

3+4k2

，得到|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

为定值．当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
（III）当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．OP⊥OQ不一定成立．下面给出分析：
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，可得

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，满足条件．当直线OP或OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．与椭圆的方程联立可得|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，|OQ|²=

12[1+(k′)2]

3+4(k′)2

，利用

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4(k′)2

12[1+(k′)2]

=

7

12

．解得kk′=±1．即可判断出．

解答： （I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵离心率为

1

2

，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴

c

a

=

1

2

，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）．
联立

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化为x2=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7

12

为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

为定值．
（III）当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

+

1

b2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，满足条件．
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化为x2=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12[1+(k′)2]

3+4(k′)2

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4(k′)2

12[1+(k′)2]

=

7

12

．
化为（kk′）²=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．