Question

20．已知数列{a_n}、{b_n}，S_n为数列{a_n}的前n项和，向量$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
（1）若b_n=2，求数列{a_n}通项公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{2}$，a₂=0．证明：数列{a_n}为等差数列．

Answer 1

分析 （1）由向量共线的坐标运算求得S_n=b_n（a_n-1），把b_n=2代入，求出数列{a_n}的首项，并进一步求得数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则通项公式可求；
（2）把b_n=$\frac{n}{2}$代入S_n=b_n（a_n-1），利用两次递推式作差可得数列{a_n}是公差为1的等差数列．

解答 （1）解：由$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$，
得S_n=b_n（a_n-1），
∵b_n=2，∴S_n=2（a_n-1）．①
当n=1时，a₁=2；
当n≥2时，S_n-1=2（a_n-1-1）．②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）证明：b_n=$\frac{n}{2}$，则${S}_{n}=\frac{n}{2}（{a}_{n}-1）$，即2S_n=na_n-n，③
∴a₁=-1，
2S_n+1=（n+1）a_n+1-（n+1），④
④-③得：（n-1）a_n+1-na_n-1=0，⑤
则na_n+2-（n+1）a_n+1-1=0，⑥
⑥-⑤得na_n+2-2na_n+1+na_n=0，
即a_n+2+a_n=2a_n+1．
又a₁=-1，a₂=0，
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列．

点评 本题考查向量共线的坐标运算，考查了数列递推式，考查等差关系的确定，是中档题．