Question

1．随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频　　　　数	35	25	a	10	b

已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．以此样本估计总体，试解决以下问题
（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；
（Ⅱ）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1求得P（A）（2）由分期付款的期数得出利润的概率求得分布列．

解答 解：（1）由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1
所以P（A）=${C}_{3}^{1}×0.1×0．{9}^{2}=0.243$
（2）由$\frac{\\;a}{100}=0.15，\\;\\;得\\;a=15$
因为35+25+a+10+b=100，所以b=15
（2）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25．P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15
因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元
并且易知P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35
P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25
所以X得分布列

X	1000	1500	2000
P	0.35	0.4	0.25

所以X得数学期望
E（X）=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450

点评 主要考察随机变量的期望和方差，属于基础题型，在高考中属于常见题型．